NIEUWE OBJECTEN

De bovenstaande resultaten werden aan een andere kant bevestigd: in de wiskunde, voornamelijk in de algebra, begonnen nieuwe wiskundige objecten na elkaar te verschijnen, wat generalisaties waren van het concept van getal. Gewone gehele getallen zijn tamelijk ‘intuïtief’, en het is helemaal niet moeilijk om tot een experimenteel concept van een breuk te komen (hoewel toegegeven moet worden dat de bewerking van het verdelen van een eenheid in verschillende gelijke delen en de selectie van meerdere daarvan inherent verschilt van het telproces). Nadat duidelijk werd dat het getal niet in de vorm van een breuk kan worden weergegeven, werden de Grieken gedwongen irrationele getallen te overwegen, waarvan de juiste definitie met behulp van een oneindige reeks benaderingen door rationale getallen tot de hoogste prestaties van de menselijke geest behoort, maar nauwelijks overeenkomt met iets echts in onze fysieke wereld (waar elke meting is altijd foutgevoelig). Niettemin vond de introductie van irrationele getallen min of meer plaats in de geest van “idealiserende” fysieke concepten. En hoe zit het met negatieve getallen, die langzaam, maar op grote weerstand stuitten, wetenschappelijk gebruik begonnen te worden in verband met de ontwikkeling van algebra? Met alle zekerheid kan worden gesteld dat er geen kant-en-klare fysieke objecten waren, van waaruit we, met behulp van het proces van directe abstractie, het concept van een negatief getal konden ontwikkelen, en bij het aanleren van een elementaire algebra-cursus moeten we veel aanvullende en vrij complexe voorbeelden introduceren (georiënteerde segmenten, temperaturen, schulden, etc.) om te verduidelijken wat negatieve getallen zijn. Zo’n situatie staat ver af van het concept “voor iedereen duidelijk”, zoals Plato eiste van de ideeën die ten grondslag liggen aan de wiskunde, en het is niet ongebruikelijk om afgestudeerden te ontmoeten voor wie de regel van tekens (–a) (- b) = ab nog steeds een mysterie is. Zie ook NUMBER.

De situatie is zelfs nog erger met “denkbeeldige” of “complexe” getallen, aangezien ze een “getal” i bevatten, zodat i2 = –1, wat een duidelijke schending is van de regel van tekens. Toch wiskundigen uit de late 16e eeuw. aarzel niet om berekeningen uit te voeren met complexe getallen alsof ze ‘logisch’ waren, hoewel ze 200 jaar geleden deze ‘objecten’ niet konden definiëren of interpreteren met behulp van een hulpconstructie, omdat ze bijvoorbeeld werden geïnterpreteerd met behulp van directionele segmenten negatieve getallen. (Sinds 1800 zijn er verschillende interpretaties van complexe getallen voorgesteld, waarvan de bekendste wat betreft vectoren in het vlak.)

rubiks kubus kopen